La curiosità del mese a cura di Gianluigi Filippelli
Si racconta che, in una ridente cittadina della Germania, forse Brunswick, verso la fine del XVIII secolo, in una classe di quelle che oggi chiameremmo le scuole primarie un maestro, per una qualche ragione, dovette lasciare i suoi studenti da soli. Così decise di affidare loro un compito che pensava li avrebbe tenuti impegnati per un po’ di tempo: fare la somma dei primi cento numeri naturali. Una volta rientrato in classe,
vide che in effetti i suoi studenti erano tutti intenti a eseguire i calcoli, a parte uno. Allora il maestro gli si avvicinò per chiedergli conto di questa inazione, scoprendo che il giovane studente aveva già finito il compito, peraltro ottenendo il risultato corretto. Tale episodio, in realtà, è considerato dagli studiosi apocrifo: non ci sono, infatti, fonti che ci permettono di stabilire che sia effettivamente avvenuto. Ciò che,
però, testimonia è la predisposizione sin da bambino di uno dei più grandi matematici di tutti i tempi: Carl Friedrich Gauss.
La somma dei primi cento numeri naturali
Vediamo, innanzitutto, come il giovane Gauss avrebbe trovato la somma dei primi cento numeri naturali. Partì da una semplice osservazione. I primi due estremi della serie di numeri, 100 e 1, se sommati insieme
fanno 101. E così i due successivi numeri, 99 e 2, che sommati insieme fanno ancora 101. E questo via andando fino a concludere tutti i numeri della serie, per un totale di 50 coppie. Per cui la somma dei primi
cento numeri naturali è il prodotto tra 50 e 101, ovvero 5050. Il risultato di Gauss, però, può essere ulteriormente generalizzato. Infatti se vogliamo calcolare la somma dei primi n numeri naturali, possiamo utilizzare la formula che definisce i cosiddetti numeri triangolari, ovvero numeri che possono essere rappresentati come triangoli. Gauss, però, non si è occupato solo di teoria dei numeri, ma anche di altre branche della matematica, come l’algebra e la geometria. E anche di altre discipline del sapere umano, su tutte l’astronomia. In questo campo il suo risultato più importante è stato il contributo alla scoperta di Cerere.
Dove è finito Cerere?
Questi è un corpo celeste scoperto dall’astronomo italiano Giuseppe Piazzi l’1 gennaio del 1801. Piazzi ipotizzò che questo oggetto fosse l’ipotetico pianeta, a lungo cercato, orbitante tra Marte e Giove. Dopo la
prima osservazione, riuscì a seguirlo per un breve periodo, ma poi scomparve alla vista passando dietro al Sole. Purtroppo gli strumenti matematici dell’epoca non erano sufficienti per prevedere quando e dove
Cerere sarebbe ricomparso: Gauss, allora, decise di occuparsi del problema, che evidentemente riteneva una sfida alla sua portata. Per portare a termine il compito che si era prefisso perfezionò la matematica
dietro i calcoli astronomici creando dei nuovi metodi di approssimazione, riuscendo a prevedere la ricomparsa di Cerere per il dicembre del 1801. Quando i due astronomi Franz Xaver von Zach e Heinrich Olbers, uno indipendentemente dall’altro, osservarono nuovamente Cerere, la previsione di Gauss si rivelò corretta entro un mezzo grado.
Misurare la Terra
Gauss si interessò anche di geodesia, branca della fisica che, semplificando, ha il compito di misurare il pianeta. Iniziò a interessarsi di geodesia sin dal 1799, anche con esperimenti sul campo e con l’invenzione di nuovi strumenti di misura. Una delle sue collaborazioni più lunghe e fruttuose fu quella con il suo ex-allievo Heinrich Christian Schumacher, che nel frattempo era diventato professore a Copenaghen e viveva ad Altona, vicino ad Amburgo, dove era direttore di un osservatorio astronomico. I dati raccolti da allievo e maestro avevano l’obiettivo di misurare l’arco geodetico tra Gottinga, dove Gauss lavorava e risiedeva, e
Altona. E un risultato collaterale di questa raccolta dati fu la determinazione della forma matematica della Terra, che Gauss inserì in un articolo datato 1828. La figura matematica scoperta da Gauss era definita come la superficie ovunque perpendicolare alla direzione della gravità. Nel 1873 tale forma venne chiamata geoide da un altro suo allievo, Johann Benedict Listing. Nel frattempo, nel 1849, il matematico irlandese
George Gabriel Stokes derivò la formula che permetteva di calcolare la forma della Terra e che divenne nota come l’integrale di Stokes.
La forma del campo gravitazionale
Per concludere la nostra storia, facciamo un salto di oltre un secolo e mezzo e arriviamo ai giorni nostri, quando sono stati inviati in orbita intorno alla Terra due progetti distinti che ci hanno restituito una visione
particolare della forma gravitazionale del nostro pianeta. Sia GRACE, il Gravity Recovery And Climate Experiment, costituito dai due satelliti Grace 1 e Grace 2, sia GOCE, il Gravity Field and Steady-State Ocean
Circulation Explorer dell’ESA, di cui vi sto mostrando i risultati, ci hanno mostrato una Terra che in qualche modo ricorda una patata con bozzi e rientranze sparsi qua e là in dipendenza dell’anomala distribuzione
della densità della materia del pianeta. E più o meno tali anomalie coincidono con le catene montuose o con le valli effettivamente presenti sulla Terra.
