La curiosità del mese a cura di Daniele Spiga
Lucy in the sky con i cinque equilibristi
Conosciamo tutti Lucy, il fossile di Australopitecus Afarensis (Figura 1) scoperto da Donald Johanson nel 1974, la cui specie è ritenuta progenitrice di Homo Sapiens. È anche noto che questa nostra antenata di 3.5 milioni di anni fa deriva il suo nome dalla canzone Lucy In The Sky With Diamonds, scritta qualche anno prima dai Beatles.
Meno nota è forse la sonda planetaria Lucy, lanciata lo scorso ottobre (Figura 2), e attualmente diretta allo studio dei “fossili” dei progenitori dei pianeti del sistema solare, ovvero… gli asteroidi. E non asteroidi qualunque, si badi bene, ma asteroidi raccolti in uno spazio relativamente ristretto e che si sono sempre tenuti abbastanza lontani dal Sole, in modo da avere preservato la loro composizione originaria.
Dove possiamo trovare un simile deposito di “reliquie” degli albori del Sistema Solare?
La risposta è: nei due punti di Lagrange L4 e L5 del sistema Sole-Giove; si tratta di due di cinque punti che sono degli autentici equilibristi della gravità, e di cui si era già discusso in una astrocuriosità precedente. Per capire cosa hanno di particolare questi punti del Sistema Solare, riprendiamo il filo del discorso.
Studiare il movimento di due corpi sotto l’effetto della loro gravità ha una soluzione esatta e semplice: in sostanza, le leggi di Keplero. È così che riusciamo a descrivere precisamente il movimento dei pianeti intorno al Sole, dei satelliti intorno ai pianeti, e perfino i sistemi binari di stelle, determinando anche la loro massa dalle caratteristiche della loro orbita. E i calcoli analitici (ovvero fatti con carta, penna e spremuta di meningi…) occupano giusto una pagina o due.
E… se i corpi diventano tre? Allora tutto diventa molto complicato (proprio come nella vita, quando in una coppia che orbita in perfetta armonia si va a intromettere un/a terzo/a incomodo/a…).
In generale, il problema è impossibile da risolvere per via analitica, ma in alcuni casi il problema si semplifica: ad esempio, se ammettiamo che uno di questi tre corpi sia molto più leggero degli altri due, possiamo pensare che il moto dei due corpi più pesanti non sia disturbato dalla gravità del terzo. Allora i due oggetti massicci seguiranno le leggi di Keplero, e poi potremo dedicarci a risolvere con calma il moto del corpo leggero nel campo di gravità degli altri due, che sarà perfettamente noto.
È un caso applicabile al Sistema Solare, in cui (se non richiediamo precisioni elevate, e su tempi scala di qualche migliaio di anni) ogni pianeta si muove nella gravità del Sole, le lune si muovono quasi solo nella gravità del loro pianeta, e poi ci sono asteroidi e comete che si “adeguano” alla gravità dei corpi maggiori senza perturbarli.
C’è ancora un aspetto difficile: il campo di gravità in questione è generato dal Sole e da un pianeta in movimento, quindi dipende dal tempo, che è comunque una bella complicazione anche per chi risolve equazioni differenziali a mente!
Per nostra fortuna, uno di questi personaggi, vissuto nel XVIII secolo, trovò una soluzione incredibilmente semplice in un caso particolare, anzi, cinque casi particolari: quella in cui il terzo corpo è in equilibrio, e quindi resta fermo rispetto agli altri due. Si chiamava (Figura 3) Giuseppe Luigi Lagrangia, anche se tutti lo chiamiamo Joseph-Louis Lagrange,[1] ed è stato nientemeno che l’inventore della Fisica Matematica, roba che se vivesse oggi vincerebbe una decina di Nobel.
Lagrange comprese che nella situazione descritta esistono 5 posizioni in cui si annulla la somma delle forze: 1) la gravità del Sole 2) la gravità del pianeta e 3) la forza centrifuga che compare per il fatto che ci siamo messi in un riferimento co-rotante col sistema Sole-pianeta, così da apparirci immobile.
Oggi li chiamiamo in suo onore Punti di Lagrange (o semplicemente, lagrangiani) e indichiamo questi cinque equilibristi con L1, L2, L3, L4 e L5.
Per riprendere il paragone di prima, è come se il/la terzo/a incomodo/a capisse che nulla può contro il legame della coppia e quindi – se è intelligente – si “parcheggiasse” in una friend zone a debita distanza da entrambi.
C’è una squadra di cinque funamboli per ogni pianeta… i lagrangiani di Giove, quelli di Saturno, ecc. … perfino quelli della Terra! L1, L2, e L3 sono allineati al Sole e al pianeta, e sono piuttosto intuitivi visto che le tre forze sono allineate, proprio come i contendenti di un tiro alla fune.
Ed ecco la sorpresa… guardate in Figura 4 dove sono L4 e L5: altro che allineati, uno precede e l’altro segue di 60° l’orbita del pianeta! E qui le cose si fanno interessanti: i tre corpi sono ai vertici di un triangolo equilatero, quindi L4 e L5 sono alla stessa distanza dal Sole, per cui in questi due punti la gravità del pianeta e quella del Sole sono proporzionali alle rispettive masse.
Dove punta la somma di queste due forze? Guarda caso, nel centro di massa C del sistema Sole-pianeta, che è anche il centro intorno a cui ruota tutto il sistema.
Quindi la forza centrifuga ha la direzione e – come si calcola facilmente – anche l’intensità giusta per bilanciare esattamente la gravità totale. Come in un ipotetico tiro alla fune con tre cime e tre squadre che tirano in 3 direzioni diverse… provateci!
Ma se i lagrangiani sono punti di equilibrio, allora perché non sono “occupati”, ad esempio da altri pianeti? Ma perché, almeno in una direzione, sono punti di equilibrio instabile. Ovvero, sono punti in cui la minima perturbazione rischia a buttarli fuori, e quindi non si riesce a rimanerci fermi a lungo (del resto, avete mai visto un equilibrista esibirsi sul fondo di una buca?).
Però, grazie alla forza di Coriolis, un’altra forza che appare in un sistema rotante, ci si può muovere in orbita intorno ad essi. Ad esempio, L4 e L5 ammettono orbite stabili per oggetti non troppo massicci, come asteroidi, rocce, o polveri. Oggetti più grandi sfuggirebbero o entrerebbero in collisione fra loro; per oggetti piccoli, al contrario, c’è tutto lo spazio che si vuole intorno a L4 e L5.
Anzi, si tratta di due luoghi piuttosto affollati di asteroidi, che descrivono orbite particolari, dette di “librazione” intorno a questi due punti. Per esempio, gli asteroidi della famiglia Hilda hanno la caratteristica di essere in risonanza orbitale 2:3 con Giove e quindi passano all’afelio ad ogni orbita da L3, poi da L4 e poi da L5.
Sempre le regioni intorno a L4 e L5 Sole-Giove sono popolate da due famiglie di circa 400000 asteroidi, detti greci (in L4) e troiani (in L5) che prendono i nomi degli eroi dell’Iliade e che descrivono orbite strampalate… ricordano un po’ un incrocio tra un cavatappi e un ferro di cavallo (!). In genere, vengono designati collettivamente come asteroidi troiani.
Ed è qui che la sonda Lucy è diretta, equipaggiata di camere e spettrometri infrarossi per determinare le caratteristiche di queste autentiche capsule del tempo: visiterà 8 asteroidi nell’arco di 8 anni (Figura 5), modificando periodicamente la sua orbita intorno al Sole grazie a una serie di fly-by gravitazionali con la Terra.
Nel 2025 visiterà – e non poteva mancare – l’asteroide di fascia principale Donaldjohanson, poi nel 2027 i troiani di L4 Eurybates-Queta, Polymele, Leucus e Orus. Nel 2031, tornerà a sorvolare la Terra così da subire un’ultima deviazione verso il gruppo L5, dove giungerà nel 2033 per studiare l’asteroide doppio Patroclo-Menezio (Figura 6).
Insomma, la nostra Lucy, a dispetto dei suoi 3.5 milioni di anni…, si esibirà in un autentico volteggio gravitazionale tra la Terra e i punti di Lagrange.
E noi saremo pronti ad applaudirla, proprio come una vera acrobata, quando ci manderà immagini e dati unici su questi remoti e ancora sconosciuti oggetti del nostro Sistema Solare. E chissà che non ci sveli qualcosa dell’origine del nostro pianeta, della nostra stella, e dei nostri vicini cosmici.
[1] Ebbene sì, Lagrange era torinese, quindi italiano, ma francesizzò il suo nome quando andò a lavorare a Parigi. All’epoca, era usanza comune. Cosa non si fa per tirare a campare…
