Astrocuriosità | luglio 2024 – Il costo del tempo

La curiosità del mese a cura di Luigi Foschini

Interstellar (SPOILER ALERT!) è un film di fantascienza del 2014 diretto da Christopher Nolan e interpretato, tra gli altri, da Matthew McConaughey, Anne Hathaway, Jessica Chastain, Matt Damon e Michael Caine. Il film si è avvalso della consulenza scientifica di Kip Thorne fisico teorico statunitense (premio Nobel per la fisica nel 2017, per l’osservazione delle onde gravitazionali). È un film molto bello, dove la scienza viene estrapolata con saggia fantasia, tanto che potrebbe essere uno standard per la moderna divulgazione scientifica. Se non lo avete mai visto, ve lo consiglio di cuore. E per chi ha difficoltà a comprendere le parti scientifiche, c’è il bel libro di Kip Thorne che spiega la scienza alla base del film, suddividendola molto saggiamente in tre parti: quella consolidata, quella incerta di frontiera e quella che è allo stadio di speculazione.

Il tema scientifico centrale del film è la relatività del tempo e l’impatto che può avere sulla vita umana, se un giorno gli esseri umani riusciranno a viaggiare nello spazio interstellare. L’astronauta Joseph Cooper, interpretato da Matthew McConaughey, parte dalla Terra che ha 34 anni e ritorna che ne ha 124, mentre sua figlia Murph (Jessica Chastain) ha quasi 10 anni quando lui parte e lo rincontra sul letto di morte a 99 anni. Ma Cooper è ancora giovane, perché per lui sono trascorsi pochi anni dalla partenza. Il ritmo del tempo è stato differente per padre e figlia, perché il padre è stato vicino a un buco nero, che nel film è chiamato Gargantua (fig. 1), in onore del protagonista insaziabile di un romanzo di François Rabelais.

Per capire perché cambia il ritmo del tempo è necessario fare alcuni semplici conti. Non spaventatevi, perché è sufficiente la conoscenza delle quattro operazioni. Consideriamo un orologio posto a terra. Ha una certa energia, somma della sua propria energia e del fatto di essere in un campo gravitazionale. Quest’ultima energia – chiamata potenziale – dipende dalla massa dell’orologio, dall’accelerazione di gravità e dalla posizione nel campo gravitazionale (o meglio, dalla distanza dalla massa che genera il campo). L’accelerazione di gravità nel caso della Terra è pari a 9.81 m/s^2, per il Sole vale ben 274 m/s^2, mentre per Gargantua vale circa 590000 m/s^2 in prossimità dell’orizzonte degli eventi. Il nostro orologio è al suolo e quindi l’energia potenziale gravitazionale è pari a zero, perché la sua altezza dal suolo è zero. Se lo allontaniamo dalla superficie e lo portiamo a una certa quota, allora alla sua energia interna si somma l’energia potenziale gravitazionale corrispondente alla distanza dalla massa che genera il campo. Possiamo usare poi la celeberrima equazione di Einstein, che lega la massa all’energia, per riscrivere l’equazione dell’energia dell’orologio in quota. Se ora facciamo la differenza tra le due energie, vediamo che non è nulla ed è pari al termine indicato in figura. Il nostro orologio, che è un orologio atomico, definisce un secondo come 9 192 631 770 volte l’oscillazione tra due livelli energetici del Cesio 133. Quindi, la sua energia interna è proporzionale a questa frequenza di oscillazione. Di conseguenza, la differenza di energia tra l’orologio al suolo e l’orologio in quota si traduce in una differenza di frequenza, ovvero il tempo ha un ritmo differente (fig. 2).

Questo fenomeno è erroneamente chiamato dilatazione temporale, ma il tempo non è un elastico che si tira o si restringe. Quello che cambia è il ritmo del tempo. Più ci si allontana dalla sorgente del campo gravitazionale, più il ritmo del tempo procede veloce, mentre il contrario capita quando ci si avvicina alla sorgente. Ecco perché nel film, quando gli astronauti scendono sul pianeta di Miller, che è estremamente vicino al buco nero, rallentano enormemente il loro ritmo del tempo, ma sempre rispetto a una persona rimasta sulla Terra. Loro trascorrono poco più di 3 ore sul pianeta, invecchiano di 3 ore, ma sulla Terra trascorrono 23 anni e le persone che hanno lasciato là invecchiano di conseguenza (questa differenza di ritmo non è realistica, ma bisogna concedere la cosiddetta “licenza poetica”).

Se tutto ciò può sembrare bizzarro tenete presente che questo fenomeno deve essere considerato nel Global Positioning System (GPS) che ciascuno di voi ha nello smartphone, nello smartwatch o nel navigatore in auto. Il GPS è un sistema di satelliti in orbita a 20000 km di quota, ciascuno dei quali ha una velocità rispetto al suolo di circa 4 km/s. Il nostro navigatore ha un ricevitore per il segnale inviato da questi satelliti, che poi viene elaborato per fornire distanze e tempi di percorrenza. Se non si correggesse per il differente ritmo del tempo, causato sia dal trovarsi a 20000 km di distanza dalla superficie terrestre, ma anche dal muoversi a una certa velocità, l’errore sulla distanza sarebbe di quasi 6 km!

Ma torniamo al film Interstellar. Nella parte finale, Cooper (McConaughey) e Brand (Hathaway) stanno precipitando con la loro astronave, l’Endurance, verso Gargantua. Con un’abile manovra, Cooper riesce ad allontanare l’astronave e, nel fare questo, pronuncia una curiosa battuta:

Well, this little maneuver’s gonna cost us 51 years!” (Bene, questa piccola manovra ci costerà 51 anni!)

Sono ovviamente anni terrestri, mentre per i due astronauti si tratta solo di alcuni minuti. Ma al di là di tutto, è interessante l’uso del verbo “costare“, che – a mio vedere – è straordinariamente appropriato. In fisica si usa distinguere tra la traslazione nello spazio e quella nel tempo. Nel primo caso, la quantità fisica di riferimento è l’impulso, ovvero il prodotto della massa per la velocità (chiamato anche momento). Nella vita quotidiana siamo più avvezzi alla velocità, ma questa non è altro che l’impulso per unità di massa. Se vogliamo che un’auto viaggi a 50 km/h, l’impulso sarà maggiore se è a pieno carico rispetto a quando è vuota.

Per traslare nel tempo occorre invece energia. Come esempio, consideriamo un orologio a pendolo. Se non ci fosse attrito, il pendolo oscillerebbe eternamente sempre alla medesima ampiezza, perché la sua energia rimarrebbe costante. Questo è un caso ideale. Nella realtà, la presenza dell’attrito dissipa energia, per cui l’ampiezza dell’oscillazione diminuisce nel tempo, fino ad azzerarsi. L’effetto del tempo è dissipazione di energia. Se si vuole mantenere il pendolo in moto, è necessario rifornirlo di energia di tanto in tanto. Un tempo gli orologi avevano una molla che doveva essere caricata quotidianamente, mentre oggi c’è una batteria, che può avere durata più lunga, ma prima o poi va ricaricata anch’essa. Anche noi esseri umani abbiamo bisogno di energia per viaggiare nel tempo, cioè per vivere, e ci ricarichiamo quotidianamente mangiando.

Questo, quindi, è il costo del tempo: energia.

Fig. 1 -  Disco di accrescimento intorno a Gargantua, il buco nero del film Interstellar. [James, O., et al., 2015, “Gravitational lensing by spinning black holes in astrophysics, and in the movie Interstellar”, Classical and Quantum Gravity 32, 065001. DOI 10.1088/0264-9381/32/6/065001].
Fig. 1 –  Disco di accrescimento intorno a Gargantua, il buco nero del film Interstellar. [James, O., et al., 2015, “Gravitational lensing by spinning black holes in astrophysics, and in the movie Interstellar”, Classical and Quantum Gravity 32, 065001. DOI 10.1088/0264-9381/32/6/065001].
Fig. 2 - Cambiamento di frequenza a seconda della distanza dalla sorgente di campo gravitazionale - Crediti Luigi Foschini.
Fig. 2 – Cambiamento di frequenza a seconda della distanza dalla sorgente di campo gravitazionale – Crediti Luigi Foschini.
Fig. 3 - Orologi a pendolo in mostra al Museo Astronomico di Brera, presso la sede milanese dell'Osservatorio Astronomico di Brera dell'Istituto Nazionale di Astrofisica. Altre fotografie storiche dell'Osservatorio possono essere trovate qui: https://www.flickr.com/photos/193390336@N06/albums/with/72157719750615550
Fig. 3 – Orologi a pendolo in mostra al Museo Astronomico di Brera, presso la sede milanese dell’Osservatorio Astronomico di Brera dell’Istituto Nazionale di Astrofisica. Altre fotografie storiche dell’Osservatorio possono essere trovate qui: https://www.flickr.com/photos/193390336@N06/albums/with/72157719750615550

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